Congruences

தலைப்பை பார்த்துவிட்டு,ஏதோ ஹாலிவுட் பட விமர்சனம் என நினைத்து விட வேண்டாம்.இது சென்ற பதிவைப் போல ராமானுஜத்தின் கண்டுப்பிடிப்பின் பற்றின பதிவே.ராமனுஜதத்தின் பதிவுகளை இன்றும் பலர் ஆராய்ச்சி செய்துக் கொண்டிருக்கின்றனர்,அந்த சூழ்நிலையில் , 
அவரது கண்டுப்பிடுப்புகளின் பட்டியலாவது 12ம் வகுப்பு வரை கணக்கை மாங்கு மாங்கென படித்த நமக்கு தெரியுமா என்றால், என்னைப் போன்றோர் இல்லை என்றே பதில் சொல்வார்கள்...கணிதம் என்பதை தாண்டி அந்த அசாதாரன மனிதனின் சாதனையின் பட்டியலாவது தெரிந்துக் கொள்ளலாமென இணையத்தில் தேடியப் போது சில கண்டுப்பிடிப்புகள் புரிந்துக் கொள்ள எளிமையாக இருந்தது.அதன் விளைவே ராமனுஜன் பற்றின இந்த தொடர் பதிவுகள்...

சரி வாங்க கணக்கைப் பண்ணலாம்...

இந்த கணக்கின் பெயர் Ramanujan's congruences.அதனை பார்ப்பதற்கு முன்பு , partitions of number பற்றித் தெரிந்துக் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்,அதை எத்தனை வகையாக கூட்டுதல் மூலம் வர வைக்கலாம் என்று பாக்கலாம்.

 

உதாரணம் : 4 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

 

4 + 0 = 4

1 + 3 = 4

2 + 2 = 4

1 + 1 + 1 + 1 = 4

1 + 1 + 2 = 4

 

ஆக மொத்தம் 5 வகையாக இந்த எண்ணை வர வைக்கலாம்.இதனை கணித உலகில் இப்படிக் குறிப்பிடுவார்கள்.

 

P(4) = 5

 

4 என்ற எண்ணின் partitions 5 ஆகும்.

 

அவ்வளவு தாங்க விஷயம்.இப்போ ராமானுஜம் என்ன சொல்ல வராற்னா...

 

அந்த k விற்கு 0,1,2 ந்னு போட்டுப்பாருங்க.p(4),p(9),p(14),p(19) ந்னு கிடைக்கும்....இதன் partitions அனைத்தையும் 5 ஆல் வகுக்கலாம்னு (divide) சொல்றாரு...

சரி சோதிச்சுப்பாக்கலாம்னு p(9) கண்டுப்பிடிக்க முயற்சித்தப் போது. 
30 நிமிடம் ஆனது p(9) = 30 ன்னு கண்டுப்பிடிக்க.(ஏற்கனவே சொன்ன மாதிரி இது அவர் கண்டுப்பிட்ச்சதில் எளிமையான கணக்கு என்பதை இந்த இட்த்தில் நினைத்துப் பார்க்கும் போது கொஞ்சம் சங்கட்டமாகத் தான் இருக்கு)

இது மாதிரி partitions சம்மந்தமாக அவர் கண்டுப்பிடித்த மற்ற குணாதிசியங்கள் (properties) ...

இதன் பெயர் தான்  Congruence properties of partitions  அல்லது Ramanujan's congruences.

குறிப்பு : 

நடுவில் நாமம் போல ஒரு symbol இருக்குல.அதற்கு பெயர் தான் congruence.

உதாரணமாக ,  என்பதன் பொருள்  (b - c)  is divisible by m .

ஆனால் congruence என்பதன் உண்மையான பயன்பாடு விளங்கவில்லை,ஆதலால் அதை ஓரமாக park செய்துவிட்டேன்.

M.G.R பற்றி ஒரு துணுக்குச் செய்தி

ராமானுஜன் எண் 1729 பற்றி எழுதியிருந்தேன் , அந்த பதிவு மூலம் எனக்கு கிடைத்த அறிமுகம் தான் ரகமி எழுதிய ராமானுஜன் புத்தகம்.அதன் தாக்கம் , கடந்த ஒரு வாரமாக வீட்டில் ராமானுஜத்தின் பெருமையை பற்றித்தான் பாடிக்கொண்டிருந்தேன்.அந்தப் பாட்டைத் தான் இங்கையும் பாடப்போறேன்….

தனது படிப்பை தொடர அவருக்கு போதுமான வசதியில்லை,கல்வி உதவித்தொகை பெருவதற்காக தேர்வொன்றை எழுதுகிறார் , தொடர்ந்து மூன்று வருடம் கணிதத்தை தவிர மற்ற பாடங்களில் தோல்வி அடைகிறார்.பட்டம் பெற கணிதம் மட்டும் போதாது என்பதால் அவரால் இந்தியாவில் பட்டம் பெற முடியவில்லை.ஆனால் காலம் அவரை லண்டன் அனுப்பி P.h.d பட்டம் பெற செய்கிறது.அந்த மேதை, பட்டம் பெற செய்த கணக்கின் பெயர் தான் Highly Composite Number.

அய்யோ கணக்கா .. என ஓட வேண்டாம்.இது ஓர் எளிமையான கணக்குத் தான்.வாருங்க பாக்கலாம் நம்மாளோட கைவரிசையை…

ஒரு எண்ணை (number) எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் , அதனை எத்தனை வகையாக divide பண்ணலாம்னு பாருங்க..

உதாரணமாக..

2 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம்–அதை இரண்டு வகையாக divide பண்ணலாம் ( 2 / 1 மற்றும் 2 / 2 ).இந்த எண்ணிகைக்கு (count) possible number of divisors என்று பெயர்.

6 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்,அதற்கு (6/1,6/2,6/3,6/6) possible number of divisors 4 ஆகும்.

இதேப் போல் 1 முதல் துவங்கி தொடர்ச்சியாக எழுதினால்,நமக்கு கிடைக்கும் பட்டியல்…

Number	Possible Number of divisors
1	1
2	2
3	2
4	3
5	2
6	4
7	2
8	4
9	3
10	4
11	2
12	6
….	…..

இதில் Possible Number of divisors ஏறுமுகமாக இருப்பதை மட்டும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.உதாரணமாக 3 என்ற எண்ணுக்கு Possible Number of divisors 2 ஆகும்.ஆனால் 2 என்ற எண்ணுக்கும் Possible Number of divisors 2 ஆகும்.ஆதலால் 3 ஐ விட்டுவிடுங்கள்..4 என்ற எண்ணுக்கு Possible Number of divisors 3 ஆகும்.அது 2 என்ற எண்ணின் Possible Number of divisors விட அதிகமானது ஆதலால் 4 ஐ வைத்துக்கொள்ள வேண்டும்.தேர்வான இந்த எண்களின் பெயர் தான் highly composite number.

Number	Possible Number of divisors
1	1
2	2
3	2
4	3
5	2
6	4
7	2
8	4
9	3
10	4
11	2
12	6
….	…..

ராமானுஜன் இந்த வரிசையில் முதல் 102 எண்களை கண்டுபிடித்ததற்காகத் அவருக்கு லண்டனில் பி.ஏ பட்டம் கிடைத்ததாம்.பின்னாளில் அதுவே P.h.d ஆக மாற்றப்பட்டதாம்.பாருங்க நம்ம ஆளு எப்படியெல்லாம் கலக்கியிருக்காருன்னு…

அதெல்லாம் சரி M.G.R பற்றி சொல்லறேன்னிட்டு ராமானுஜன் பற்றி ஏன் சொன்னேன்னு குழம்ப வேண்டாம்.அந்த விஷயத்திற்கு வரேன்…லண்டனில் ராமானுஜத்தின் கணிதத் திறமையை கண்டு அவரை Mathematical Genius Ramanujan என்று புகழ்ந்துள்ளனர், அதனை சுருக்கி M.G.R என்று அழைத்துள்ளனர்.

இதாங்க அந்த துணுக்குச் செய்தி…