Monday, March 17, 2014

விழித்தும் கலையாத கனவு

அலைச்சலில் படுத்தவுடன் உறங்கிப் போயிருந்தேன்.ஏதோ ஓர் சப்தம் என் உறக்கத்தின் நிசப்தத்தை  சோதித்தது.அருகில் நண்பன் எனது கைபேசியில் பேசிக்கொண்டிருக்கும் சப்தம் தான் அது.

"ஏதாவதுனா எனக்கு போன் பண்ணுங்க, நான் காலையில‌ 7 மணிக்கு வந்துட்றேன்.அவங்களே சாப்பாடு,மாத்திரை எல்லாம் கொடுத்திடுவாங்க."
என்று மருத்துவமனையில் மணியின் அப்பாவிடம் சொல்லிவிட்டு விடைபெற்றது  நினைவிற்கு வந்தது.இமைகள் இரண்டும் போராடிக்கொண்டிருக்க ,நண்பன் மூலம் சட்டென எரிந்த‌ ட்யூப் லைட் வெளிச்சத்தில் பட்டென என் உறக்கம் கலைந்தது.

"யாரு டா இந்த நேரத்துல , மணி அப்பாவா ?"

"இல்லை..கவி தான் பேசினாள்,அங்க ரமாக்கு ஏதோ பிரச்சனையாம்..நம்மளை உடனே கூப்பிடறாங்க" என்றான் பதட்டத்துடன்.

கவியிடம் விபரங்கள் ஏதும் கேட்க முடியாமல் அவன் தவித்தான்.அவள் அவனிடம் சொன்னது.."சீக்கிரம் கிளம்பி வாங்க" என்பது மட்டும் தான்.அங்குள்ளப் பிரச்சனை என்னவென்று புரியாது இங்கு இருவரும்  காலில் சுடு நீரை கொட்டாத குறையிலிருக்க , மற்றொரு நண்பன் எகிப்து மம்மி போல் உறங்கிக் கொண்டிருந்தான்.புளுக்கத்திலும் ,கண் கூசும் விளக்கின் வெளிச்சத்திலும் ,உரையாடலின் சப்தத்திலும் துளிக்கூட‌ கலையாத அவனது உறக்கம் அவனது புட்டத்தில் நான் கொடுத்த உதையில் கலைந்தது.

"டேய் , அங்க உன் தங்கச்சிங்களுக்கு என்னமோ பிரச்சனையாம்...உடனே வர சொல்றாங்க, நாங்க முன்னாடி போறோம்..நீ வீடெல்லாம் பூட்டிட்டு கிளம்பி வா.."என்று சொல்லிவிட்டு , அவனது கேள்விகள் எதையும் காதில் வாங்காமால் தோழிகளின் விடுதியை நோக்கி இருவரும் கிளம்பினோம் .மனதிற்குள் ஆயிரம் பதட்டம் இருந்த போதும் நண்பன் என்னிடம்..

"உன்னோட ரொம்ப நாள் ஆசை நிறைவேற போகுது போல‌" என்றான்.எனது சின்ன சின்ன ஆசைகளின் ஒன்றான மகளிர் விடுதிற்குள் நுழைய வேண்டுமென்ற அந்த ஆசையை பற்றி தான் அவன் நினைவுகூர்ந்தான்.. "டேய் அதுக்கு இதுவாடா நேரம்.நல்ல நேரம் பாத்து சொல்ற பாரு" என்று அவனை கடிந்துக்கொண்டேன்.

எங்கள் வீட்டிலிருந்து விடுதி  3 தெருக்கள் தள்ளியுள்ளது.ஆதலால் முடிந்த வரை ஓடியும்,தெரு நாய்களை காணும்போதெல்லாம் நடந்தும் தூரத்தினை குறைத்தோம்.இதே போல் தான் நேற்றும் ஓடிக்கொண்டிருந்தோம் மணியிடமிருந்து செல் அழைப்பு வந்ததும்.தற்பொழுது போல் நேற்று  ஓடியது தெரிவிலும் அல்ல இரவிலும் அல்ல.நேற்று காலை ரயில் தண்டவாளத்தில் தான் ஓடினோம். நேற்று காலை வழக்கம் போல் அனைவரும் அலுவலகத்திற்கு செல்வதற்காக ரயிலுக்காக காத்துக்கொண்டிருந்தோம். இது எங்களுக்கு முதல் வேலை , படித்து முடித்து ஒரு வருடம் கடந்த பிறகும் வேலை கிடைக்காத எங்களுக்கு மும்பை தனது அன்புக் கரங்களை நீட்டியது.புதிய இடம் , அறியாத மொழி என்ற போதும் மும்பை எங்களுக்கு சிறிது நாட்களிலே பழகியிருந்தது.பெண்கள் இருவரும் எங்கள் நால்வரின்  நட்பின் மீது கொண்டிருந்த  நம்பிக்கை ஓர் புதிய அடையாளத்தை தந்திருந்தது.5 ஸ்டார் படத்தில் வருவது போல்  ஓர் அழகிய நட்பு பிடித்திருந்தது.எங்களில் நானும் மணியும்  பள்ளி பருவத்திலிருந்து நண்பர்கள் . பள்ளியில் துவங்கிய நட்பு பணியில் அமரும் வரை தொடர்வ‌து அனைவருக்கும் அதிசியமாக இருந்தது. மும்பை வடாப்பாவ் , மரைன் ட்ரைவ் , பானிப் பூரி , வேற்று மொழி நண்பர்கள் என வாழ்வின் புதிய பரிமாணத்தை சுவாசிக்க ஆரம்பித்திருந்தோம். மும்பை லோக்கல் ரயிலை தவிர மற்ற அனைத்தும் இனிதாகவே இருந்தது.எங்களுக்கு மட்டுமல்ல மும்பையில் யவருக்குமே ரயில் பயணம் இனிதாக இருந்ததில்லை.அப்படி ஒரு நெரிசல்.நெரிசல் என்றால் , அதை நாம் தமிழகத்தில் கண்டிருக்க முடியாது.3-4 நிமிடத்திற்கு ரயில் வந்துக்கொண்டேயிருந்தாலும் , மக்களின் கூட்டம் இருந்துக்கொண்டேயிருக்கும்.மும்பை ரயிலில் புட் போட் அடிப்பதெல்லாம் ஒரு கலை.நம்மால் அதெல்லாம் கனவில் கூட நினைத்து பார்க்க‌ முடியாது.நமக்கு பின், புட் போர்டில் ஒருவரிசையில் சிலர் இருந்தால் மட்டுமே ரயிலில் ஏறிட வேண்டும்.அப்படிப்பட்ட‌ கடைசி வரிசை இல்லாத போதும் மணி துணிந்து ஏறினான்.அவனது துணிவு 2நிமிடத்திலே முடிந்தது.விழுந்த தகவல் கிடைத்தும் தோழிகள் இருவரையும் விடுதிக்கு போக சொல்லிவிட்டு நாங்கள் மூவரும் ஓடத்துவங்கினோம்.அவனை தேடிப்பிடித்தது, மருத்துவமனையில் சேர்த்தது எல்லாம் ஓர் பெரிய கதை.அதை பற்றி யோசித்தாலே எனது மண்டை வெடித்துவிடும் போல இருக்கிறது. அன்பு கரம் நீட்டி வரவேற்ற மும்பை நகரம் ஏனோ  கடந்த இரு தினங்களாக எங்களை ஓட வைக்கிறது.நேற்றைய  ஓட்டத்திலும் , அதன் பின் நடந்த நிகழ்வுகளிலும் என் மனமும், உடலும் என்னை விட்டு தனியே நின்றுவிட்டது போலும்.அவை இரண்டுமே என்னுடன் இல்லாது உறக்கத்திற்காக ஏங்கிக் கொண்டிருந்தது. அப்படிப்பட்ட உறக்கத்தை இறக்கமின்றி  கலைத்து தான் த‌ற்பொழுது தோழியின் விடுதியை தேடி ஓடிக்கொண்டிருக்கிறேன்.

அவளது அறை 4வது மாடியிலிருந்தது,இதை ஏற்கனவே அறிந்திருந்தாலும் , அங்கு எறிந்த மின் விளக்குகள் உறுதி செய்தது.நாங்கள் அவளது அறைக்கு நுழையும்பொழுது சில வேற்று மொழியினர் சூழ்ந்திருந்தனர்,

கவி ரமாவின் தோளை பிடித்து  "ஏய் என்ன பாருடி " என்று உலுக்கிக் கொண்டிருந்தாள்.

எங்கள் வருகையை அறிந்ததும்கவி அங்கிருந்து எழுந்து வந்து நடந்தவற்றை சொல்ல முயற்சித்தாள் . கை தவறிய பொருட்களை பிடிக்க முடியாமல் தவிப்பது போல , வார்த்தைகள் தவறி அழத் துவங்கினாள்.சொல்ல முடியாமல் தவித்தால்.ரமாவை சுற்றி சிலர் நின்றதால் , அவளது முகத்தை எங்களால் பார்க்கவும் இயலவில்லை,நண்பன் சிலரை நகர சொல்லிவிட்டு ரமாவை காணச் சென்றான்.அருகிலிருந்தோர் ஆங்கிலத்திலும்,ஹிந்தியிலும் என்னிடம் பேசினர்.அந்த அர்த ராத்திரியில் வேற்று மொழியினை எனது மூலை எற்றுக்கொள்ளவில்லை.தமிழ் மட்டுமே அதன் நுழைவாயிலில் அனுமதிக்கப்பட்டது.

கவியின் அழுகை அடங்கிருந்தது.."என்னான்னு தெரியல டா ..தூக்க‌த்தில‌ எழுந்து அழுதுக்கிட்டே இருக்கா..ஏதேதோ மொனவுறாள்..எனக்கு என்ன பன்றதுனு தெரியல..பயமா இருக்கு " என்றாள். "ஏய் , அழுகையை நிறுத்து,இங்க என்னை பாரு " என்று நண்பன் ரமாவிடன் பேசினான்.. நானும் அவள் அருகே சென்றேன்,அவளது கண்கள் விழித்திருந்தது , அந்த பார்வையில் பயம் மட்டுமே இருந்தது.அவளுக்கு முன் இத்தனை பேர் நிற்பதை அவள் அறிந்திருக்கவில்லை.அவள் அழுதுக்கொண்டே ஏதோ முணுகினாள்...

"மணி, ட்ரேன் , நாய் ..."என்ற வார்த்தைகளை மட்டும் கேட்க முடிந்தது.அவளது வார்த்தைகளின் அர்த்தம் எங்களுக்கு புரிந்திருந்தது.முன்தினம்  மருத்துமனையில் ரத்தத்தில் நினைந்த மணியின் சட்டையை பார்த்தவுடனே மயக்கம் போட்டிருந்தாள்.அவள் கண்களில் பயம் அங்கேயே தொற்றிக் கொண்டிருந்தது.அவளது நினைவுகளை நண்பர்கள் ஏதேதோ சொல்லி மாற்றியிருந்த போதும்.அவளது ஆழ்மனதிலிருந்து அது நீங்கவில்லை .கனவிலும் நினைவுகளின் பிம்பங்களை பார்த்திருக்க கூடும், ஆதலால் தான் நினைவிழுந்து மீண்டும் மீண்டும் மணியின் பெயரையே உச்சரித்தாள்.அவளை அந்த நினைவிலிருந்து மீட்டிட நண்பன் போராடிக் கொண்டிருந்தான், நான் திடிரென நண்பனை விலக சொல்லிவிட்டு ..அவளை பலாரென அறைந்தேன்...

ஆங்கில வார்த்தைகளும் , ஹிந்தி வார்த்தைகளும் அந்த பலார் சப்தத்தில் ஒதுங்கிச் சென்றன.ரமாவின் பார்வையும் மாறியது. "நான் எங்க இருக்கேன்" என மொக்கையாக கேட்காமல் "நீங்க ஏன்டா இங்க வந்தீங்க " என்றாள்,பின் சுற்றமும் உணர்ந்தாள்.அவள் ஒருவாறு என்ன நடந்திருக்கும் என கனித்தாள்.மற்றவர்களை பேசி அனுப்பிவிட்டு நாங்க நால்வர் மட்டும் வரவேற்பரை என்று பெயர் மட்டும் சூட்டப்பட்டிருந்த  இடத்திற்கு வந்தோம்.

நாங்கள் வரவேற்பரைக்கு வரவும் மற்றொரு நண்பன் அங்கு வந்த சேரவும் நேரம் சரியாக இருந்தது.ஒவ்வொரு நண்பர்கள் வட்டத்திலும் , பெண்களுக்கு அண்ணனாக ஒரு அப்பாவி தத்தெடுக்கப்படுவான்.ரக்க்ஷாபந்தனுக்கு அவன் கையில் அனைத்து வண்ணங்களிலும் கயிறுகள் இருக்கும்.கயிறுகள் நிறைந்த வேகத்தில் அவன் பர்ஸ் கரைந்திருக்கும்.அப்படி எங்கள் குழுவில் இருக்கும் தத்து அண்ணன் தான் அவன்.

"சரி என்ன ஆச்சு அத முதல சொல்லுங்க..நான் வழி தெரியாம அங்கையும் இங்கையும் சுத்திட்டிருந்தேன்..இதுல இந்த தெரு நாய் வேற..:"என்றான்.. அவனிடம் நடந்த அனைத்தையும் எனது ஆசை உள்பட சொல்லி முடித்தோம்.

"ஆனா மச்சி இவளோட கனவுல ஒரே ஒரு லாஜிக் தான்டா இடிக்குது..மணி,ட்ரேன் எல்லாம் ஓ.கே ..நாய் எங்கேந்து வந்துச்சுன்னு தெரியல.." என்று அவளது நினைவுகளை புத்திசாலித்தனமாக திருப்புதவாக நினைத்துக் கொண்டு தெரியாமல் அவளிடம் கேட்டுவிட்டேன். சாப்பிட்டு திரும்பனப்போ..ஒரு நாய் என்ன பாத்து ஊல விட்டிச்சு..அது பாக்கவே ரொம்ப பயமா இருந்திச்சு" என்று சிறுபிள்ளை போல் பேசினாள்...அவளிடம் மீண்டும் பயம் தொற்றிவிடுமோ என்று தோன்றியது.எனது ஆசைகளை பற்றி பேச்செடுத்து , அங்கு கூடியிருந்த பெண்களை பற்றி விளையாட்டாக விசாரித்தோம்.ஏதேதோ பேசி அவள் முகத்தில் சிறு புன்னைகையை முளைக்கச் செய்தோம்.அவளை  பேசி பேசியே தேற்றினோம்.எங்களால் அந்த சூழலில் முடிந்ததும் அது மட்டும் தான்.நேரம் 12ஆகியிருந்தது.ஒருவாறு ரமா பயத்தினை விட்டு விலகியிருந்தாள்.ரமாவிடமும் கவியிடமும் சிறு ஆறுதல் வார்த்தைகளை தூவ‌விட்டு நாங்கள் மூவரும் கிளம்பினோம்.

மறுநாள் நடக்கயிருக்கும் மணியின் அறுவைசிகிச்சை பற்றியும் , நாளையும் இவள் அங்கு வந்தாள் என்ன ஆகும் என்பதை பற்றியும் நண்பர்கள் புலம்பிக்கொண்டிருக்க , எனது நினைவுகள் மட்டும் கவியின் கனவை பற்றியே இருந்தது.அவள் விழித்திருந்தாள் , ஆனால் கனவிலிருந்து வெளியேரவில்லை.திரைப்படங்களில் வரும் தூக்கத்தில் நடக்கும் கதாப்பாத்திரம் போலயிருந்தது.விழித்தும் கலையாத கனவு அது என்று என்னுள் நான் சொல்லிக்கொண்டேன்.

மும்பை ரயில் அவளது நினைவுகளை தூண்டிக்கொண்டேயிருந்தது , சில நாட்களுக்கு கலையாத கனவுகள் தொடர்ந்தன .மணியின் விபத்தும் , இவளது கனவும் பெற்றோர்களுக்கு பெரிதும் மன உளைச்சலை தந்தது. நான் ரசித்த மும்பையும் , நான் நேசித்த இந்த நண்பர் வட்டமும் எனது அடுத்த சில வருடங்களை வண்ணங்கள் பல பூசப்போவதாக நான் கண்ட கனவு அவளது கலையாத கனவால் மெல்ல மெல்ல கலைந்தது.

Monday, March 10, 2014

Congruences

தலைப்பை பார்த்துவிட்டு,ஏதோ ஹாலிவுட் பட விமர்சனம் என நினைத்து விட வேண்டாம்.இது சென்ற பதிவைப் போல ராமானுஜத்தின் கண்டுப்பிடிப்பின் பற்றின பதிவே.ராமனுஜதத்தின் பதிவுகளை இன்றும் பலர் ஆராய்ச்சி செய்துக் கொண்டிருக்கின்றனர்,அந்த சூழ்நிலையில் , 
அவரது கண்டுப்பிடுப்புகளின் பட்டியலாவது 12ம் வகுப்பு வரை கணக்கை மாங்கு மாங்கென படித்த நமக்கு தெரியுமா என்றால், என்னைப் போன்றோர் இல்லை என்றே பதில் சொல்வார்கள்...கணிதம் என்பதை தாண்டி அந்த அசாதாரன மனிதனின் சாதனையின் பட்டியலாவது தெரிந்துக் கொள்ளலாமென இணையத்தில் தேடியப் போது சில கண்டுப்பிடிப்புகள் புரிந்துக் கொள்ள எளிமையாக இருந்தது.அதன் விளைவே ராமனுஜன் பற்றின இந்த தொடர் பதிவுகள்...

சரி வாங்க கணக்கைப் பண்ணலாம்...

இந்த கணக்கின் பெயர் Ramanujan's congruences.அதனை பார்ப்பதற்கு முன்பு , partitions of number பற்றித் தெரிந்துக் கொள்ள வேண்டும்.


ஒரு எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்,அதை எத்தனை வகையாக கூட்டுதல் மூலம் வர வைக்கலாம் என்று பாக்கலாம்.

 

உதாரணம் : 4 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

 

4 + 0 = 4

1 + 3 = 4

2 + 2 = 4

1 + 1 + 1 + 1 = 4

1 + 1 + 2 = 4

 

ஆக மொத்தம் 5 வகையாக இந்த எண்ணை வர வைக்கலாம்.இதனை கணித உலகில் இப்படிக் குறிப்பிடுவார்கள்.

 

P(4) = 5

 

4 என்ற எண்ணின் partitions 5 ஆகும்.

 

அவ்வளவு தாங்க விஷயம்.இப்போ ராமானுஜம் என்ன சொல்ல வராற்னா...

 


அந்த k விற்கு 0,1,2 ந்னு போட்டுப்பாருங்க.p(4),p(9),p(14),p(19) ந்னு கிடைக்கும்....இதன் partitions அனைத்தையும் 5 ஆல் வகுக்கலாம்னு (divide) சொல்றாரு...


சரி சோதிச்சுப்பாக்கலாம்னு p(9) கண்டுப்பிடிக்க முயற்சித்தப் போது. 
30 நிமிடம் ஆனது p(9) = 30 ன்னு கண்டுப்பிடிக்க.(ஏற்கனவே சொன்ன மாதிரி இது அவர் கண்டுப்பிட்ச்சதில் எளிமையான கணக்கு என்பதை இந்த இட்த்தில் நினைத்துப் பார்க்கும் போது கொஞ்சம் சங்கட்டமாகத் தான் இருக்கு)

இது மாதிரி partitions சம்மந்தமாக அவர் கண்டுப்பிடித்த மற்ற குணாதிசியங்கள் (properties) ...



இதன் பெயர் தான்  Congruence properties of partitions  அல்லது Ramanujan's congruences.

குறிப்பு : 

நடுவில் நாமம் போல ஒரு symbol இருக்குல.அதற்கு பெயர் தான் congruence.
உதாரணமாக ,  b=c (mod m).  என்பதன் பொருள்  (b - c)  is divisible by m .

ஆனால் congruence என்பதன் உண்மையான பயன்பாடு விளங்கவில்லை,ஆதலால் அதை ஓரமாக park செய்துவிட்டேன்.

Monday, March 3, 2014

M.G.R பற்றி ஒரு துணுக்குச் செய்தி

ராமானுஜன் எண் 1729 பற்றி எழுதியிருந்தேன் , அந்த பதிவு மூலம் எனக்கு கிடைத்த அறிமுகம் தான் ரகமி எழுதிய ராமானுஜன் புத்தகம்.அதன் தாக்கம் , கடந்த ஒரு வாரமாக வீட்டில் ராமானுஜத்தின் பெருமையை பற்றித்தான் பாடிக்கொண்டிருந்தேன்.அந்தப் பாட்டைத் தான் இங்கையும் பாடப்போறேன்….

தனது படிப்பை தொடர அவருக்கு போதுமான வசதியில்லை,கல்வி உதவித்தொகை பெருவதற்காக தேர்வொன்றை எழுதுகிறார் , தொடர்ந்து மூன்று வருடம் கணிதத்தை தவிர மற்ற பாடங்களில் தோல்வி அடைகிறார்.பட்டம் பெற கணிதம் மட்டும் போதாது என்பதால் அவரால் இந்தியாவில் பட்டம் பெற முடியவில்லை.ஆனால் காலம் அவரை லண்டன் அனுப்பி P.h.d பட்டம் பெற செய்கிறது.அந்த மேதை, பட்டம் பெற செய்த கணக்கின் பெயர் தான் Highly Composite Number.

அய்யோ கணக்கா .. என ஓட வேண்டாம்.இது ஓர் எளிமையான கணக்குத் தான்.வாருங்க பாக்கலாம் நம்மாளோட கைவரிசையை…

ஒரு எண்ணை (number) எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் , அதனை எத்தனை வகையாக divide பண்ணலாம்னு பாருங்க..

உதாரணமாக..

2 என்ற எண்ணை எடுத்துக்கொள்வோம்–அதை இரண்டு வகையாக divide பண்ணலாம் ( 2 / 1 மற்றும் 2 / 2 ).இந்த எண்ணிகைக்கு (count) possible number of divisors என்று பெயர்.

6 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொள்வோம்,அதற்கு (6/1,6/2,6/3,6/6) possible number of divisors 4 ஆகும்.

இதேப் போல் 1 முதல் துவங்கி தொடர்ச்சியாக எழுதினால்,நமக்கு கிடைக்கும் பட்டியல்…


Number
Possible Number of divisors
1
1
2
2
3
2
4
3
5
2
6
4
7
2
8
4
9
3
10
4
11
2
12
6
….
…..


இதில் Possible Number of divisors ஏறுமுகமாக இருப்பதை மட்டும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.உதாரணமாக 3 என்ற எண்ணுக்கு Possible Number of divisors 2 ஆகும்.ஆனால் 2 என்ற எண்ணுக்கும் Possible Number of divisors 2 ஆகும்.ஆதலால் 3 ஐ விட்டுவிடுங்கள்..4 என்ற எண்ணுக்கு Possible Number of divisors 3 ஆகும்.அது 2 என்ற எண்ணின் Possible Number of divisors விட அதிகமானது ஆதலால் 4 ஐ வைத்துக்கொள்ள வேண்டும்.தேர்வான இந்த எண்களின் பெயர் தான் highly composite number.


Number
Possible Number of divisors
1
1
2
2
3
2
4
3
5
2
6
4
7
2
8
4
9
3
10
4
11
2
12
6
….
…..


ராமானுஜன் இந்த வரிசையில் முதல் 102 எண்களை கண்டுபிடித்ததற்காகத் அவருக்கு லண்டனில் பி.ஏ பட்டம் கிடைத்ததாம்.பின்னாளில் அதுவே P.h.d ஆக மாற்றப்பட்டதாம்.பாருங்க நம்ம ஆளு எப்படியெல்லாம் கலக்கியிருக்காருன்னு…


அதெல்லாம் சரி M.G.R பற்றி சொல்லறேன்னிட்டு ராமானுஜன் பற்றி ஏன் சொன்னேன்னு குழம்ப வேண்டாம்.அந்த விஷயத்திற்கு வரேன்…லண்டனில் ராமானுஜத்தின் கணிதத் திறமையை கண்டு அவரை Mathematical Genius Ramanujan என்று புகழ்ந்துள்ளனர், அதனை சுருக்கி M.G.R என்று அழைத்துள்ளனர்.

இதாங்க அந்த துணுக்குச் செய்தி…


There was an error in this gadget